Cozinhe o peito de frango em água e sal até ficar bem macio. Depois de cozido, desfie o frango em pedaços pequenos. Reserve o caldo. Em uma panela, aqueça o óleo ou azeite e refogue a cebola e o alho até ficarem dourados. Adicione o tomate picado e refogue até desmanchar. Acrescente o frango desfiado e as azeitonas (se for usar). Tempere com sal e pimenta a gosto. Deixe refogar por mais alguns minutos. Desligue o fogo e adicione a salsinha e a cebolinha picadas. Se quiser um recheio mais cremoso, adicione o requeijão cremoso e misture bem. Deixe esfriar enquanto prepara a massa.
Cozinhe as batatas em água e sal até que fiquem bem macias. Depois, amasse as batatas ainda quentes até formar um purê liso. Em uma panela, coloque o purê de batata, o caldo de frango (reserve um pouco para a massa ficar no ponto certo), a manteiga, sal e pimenta-do-reino. Leve ao fogo médio e vá mexendo até começar a desgrudar do fundo da panela (como se fosse uma massa de brigadeiro). Acrescente a farinha de trigo aos poucos e mexa até a massa ficar homogênea e consistente. Retire a massa do fogo e deixe esfriar por cerca de 15 minutos, ou até ficar em uma temperatura que permita modelá-la.
Com as mãos untadas com um pouco de óleo, pegue uma porção de massa (cerca de uma colher de sopa cheia) e abra no formato de um círculo. Coloque uma pequena porção do recheio de frango no centro e feche a massa ao redor do recheio, formando uma coxinha. Modele até que fiquem com o formato clássico de coxinha (uma ponta mais fina, como se fosse uma coxinha de frango mesmo). Passe as coxinhas nos ovos batidos e, em seguida, na farinha de rosca, cobrindo bem.
Em uma panela funda, aqueça o óleo a 180°C (muito quente, mas sem fumos). Teste colocando um pedaço de massa no óleo: se borbulhar rapidamente, está pronto. Coloque as coxinhas no óleo quente, poucas de cada vez, para não esfriar o óleo. Frite até que fiquem douradas e crocantes, por cerca de 4 a 5 minutos. Retire as coxinhas da panela e coloque-as sobre papel toalha para escorrer o excesso de óleo.